Образование

Что такое полином и чем он полезен

Полином, или многочлен — одна из базовых алгебраических структур, которая встречается в школьной и высшей математике. Изучение полинома — важнейшая тема в курсе алгебры, поскольку с одной стороны многочлены достаточно просты по сравнению с другими типами функций, с другой — широко применяются в решении задач математического анализа. Итак, что такое полином?

Определение

Определение термину полином можно дать через понятие монома, или одночлена.

Мономом называют выражение вида сх1i1x2i2…xnin. Здесь с — константа, x1, x2, … xn — переменные, i1, i2, … in — показатели степеней переменных. Тогда полином — любая конечная сумма мономов.

Чтобы понять, что такое полином, можно посмотреть на конкретные примеры.

Квадратный трехчлен, подробно рассматриваемый в курсе математики 8-го класса, — это полином: ax2+bx+c.

Многочлен с двумя переменными может выглядеть так: х2-ху+у2. Такой полином называют еще неполным квадратом разности х и у.

Классификации полиномов

По степени полинома

Для каждого монома в составе многочлена находят сумму показателей степени i1+i2+…+in. Наибольшую из сумм называют показателем степени полинома, а одночлен, соответствующий этой сумме, — старшим членом.

Кстати, любую константу можно считать многочленом степени ноль.

Приведенные и неприведенные полиномы

Если у старшего члена коэффициент с равен 1, то многочлен приведен, иначе — нет.

Например, выражение х2+2х+1 — приведенный полином, а 2х2+2х+1 — неприведенный.

Однородные и неоднородные полиномы

Если степени всех членов полинома равны, то говорят, что такой полином однороден. Все остальные полиномы считаются неоднородными.

Однородные многочлены: х2-ху+у2, xyz+х33. Неоднородные: х+1, х2+у.

Существуют специальные названия для полинома из двух и трех членов: бином и трехчлен соответственно.

В отдельную категорию выделяют многочлены одной переменной.

Применение полинома одной переменной

Что такое полином и чем он полезен - новости образования и науки на News4Smart.ru

Многочлены одной переменной хорошо приближают непрерывные функции различной сложности от одного аргумента.

Дело в том, что такие полиномы можно рассматривать как частичные суммы степенного ряда, а непрерывную функцию можно представить в виде ряда со сколь угодно малой погрешностью. Ряды разложения функции называют рядами Тейлора, а их частичные суммы в виде полиномов — многочленами Тейлора.

Изучить графически поведение функции, аппроксимировав ее некоторым многочленом, зачастую легче, чем исследовать ту же функцию непосредственно или с помощью ряда.

Легко искать производные многочленов. Для нахождения корней у полиномов 4-й степени и ниже существуют готовые формулы, а для работы с более высокими степенями используются приближенные алгоритмы высокой точности.

Что такое полином и чем он полезен - новости образования и науки на News4Smart.ru

Существует и обобщение описанных многочленов для функций многих переменных.

Бином Ньютона

Знаменитыми полиномами являются полиномы Ньютона, выведенные ученым для нахождения коэффициентов выражения (х+у)n.

Достаточно посмотреть на несколько первых степеней разложения бинома, чтобы убедиться в нетривиальности формулы:

(х+у)22+2ху+у2;

(х+у)33+3х2у+3ху23;

(х+у)44+4х3у+6х2у2+4ху34;

(х+у)55+5х4у+10х3у2+10х2у3+5ху45.

Для каждого коэффициента существует выражение, позволяющее его вычислить. Однако запоминать громоздкие формулы и каждый раз производить необходимые арифметические операции было бы крайне неудобно для тех математиков, которым часто требуются подобные разложения. Им значительно облегчил жизнь треугольник Паскаля.

Фигура строится по следующему принципу. В вершине треугольника пишется 1, а в каждой следующей строке становится на одну цифру больше, по краям ставят 1, а середина строчки заполняется суммами двух соседних чисел из предыдущей.

При взгляде на иллюстрацию все становится понятно.

Что такое полином и чем он полезен - новости образования и науки на News4Smart.ru

Разумеется, приведенными примерами, наиболее широко известными, применение многочленов в математике не ограничивается.

Что такое полином и чем он полезен — все интересные факты и достижения науки и образования на News4Smart.ru

Поделитесь ссылкой и ваши друзья узнают, что вы знаете ответы на все вопросы. Спасибо ツ

Related Articles

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Close