Образование

Характеристика движения под углом к горизонту: формулы, решение задачи с лучником

Когда рассматривают движение тел в свободном пространстве, будь то перемещения планет в космосе или объектов в земной атмосфере, то определяющими траекторию силами являются гравитационные. В данной статье рассматривается один из видов такого перемещения — движение под углом к горизонту. Формулы, необходимые для решения соответствующих задач, также приводятся.

О каком типе движения пойдет речь?

Движение под углом к горизонту (формулы приведены далее в статье) — это перемещение объектов в гравитационном поле нашей планеты, в процессе которого действует всего одна-единственная сила — сила тяжести. В действительности же присутствует еще сопротивление воздуха, но им принято пренебрегать.

В процессе движения под углом к горизонту тело начинает движение либо с поверхности земли, либо с некоторой высоты h. В начальный момент времени оно обладает скоростью v, направленной под некоторым углом к горизонту. Пролетев по некоторой траектории, тело падает на землю.

Отмеченную траекторию принято считать параболической, однако это не совсем верно. Дело в том, что в результате действия силы тяжести объект движется по эллиптической траектории (из-за падения на землю тело описывает лишь часть эллипса). В ряде случаев часть реальной эллиптической траектории можно представить в виде параболы с высокой точностью, что и делается с целью упростить математические выкладки при расчетах.

Особенности движения под углом к горизонту

Характеристика движения под углом к горизонту: формулы, решение задачи с лучником - новости образования и науки на News4Smart.ru

Поскольку в процессе такого перемещения объектов действует всего одна сила тяжести, которая на протяжении всего пути является постоянной величиной (направлена всегда вниз и имеет постоянное абсолютное значение), то этот тип движения обладает следующими свойствами:

  • Зная начальную скорость, угол к горизонту и значение высоты, с которой стартует тело, можно однозначно рассчитать всю его траекторию полета.
  • Увеличение начальной скорости при неизменном угле к горизонту приводит к возрастанию дальности полета.
  • Если тело начинает полет с нулевой высоты, тогда угол его падения будет точно равен углу вылета.
  • Горизонтальное и вертикальное перемещения тела в процессе движения являются независимыми, поэтому их можно анализировать отдельно друг от друга.

Примеры рассматриваемого типа движения

Характеристика движения под углом к горизонту: формулы, решение задачи с лучником - новости образования и науки на News4Smart.ru

Полет мяча при ударе его футболистом или движение снаряда в воздухе после того, как им выстрелили из какого-либо орудия (пушка, миномет, танк) — это наиболее яркие примеры движения под углом к горизонту. Также таковым является полет камня, брошенного рукой с любой высоты, или прыжки того же камня, когда он отталкивается от воды.

Характеристика движения под углом к горизонту: формулы, решение задачи с лучником - новости образования и науки на News4Smart.ru

В отличие от приведенных примеров, взлет, полет и посадка самолета не относятся к рассматриваемому движению, поскольку в этом случае действуют дополнительные силы, помимо силы тяжести (тяга, подъемная сила крыла).

Физика движения под углом к горизонту: формулы

Как было сказано выше, когда тело начинает свой полет, то можно составить два независимых уравнения его движения вдоль горизонта и перпендикулярно ему. Сначала запишем, какие силы действуют на тело в направлении x и y:

Fx = 0;

Fy = -m*g.

Здесь m — масса тела, g — ускорение, которое всем телам сообщает наша планета вблизи ее поверхности. Знак минус указывает, что сила тяжести Fy действует против направления оси y.

Теперь запишем компоненты начальной скорости на каждую ось:

vx = v*cos(θ);

vy = v*sin(θ).

Здесь θ — угол к горизонту. Поскольку действующая сила приводит к изменению скорости согласно второму закону Ньютона, то можно записать:

vx = const.

vy = v*sin(θ) — g*t.

Здесь t — момент времени после начала полета.

Интегрируя по времени оба выражения, получаем конечные формулы движения под углом к горизонту:

x = vx*t+x0 = v*cos(θ)*t + x0;

y = vy*t+y0 = v*sin(θ)*t — g*t2/2 + y0.

В полученных выражениях появились две константы: x0 и y0. Они описывают начальные координаты объекта. Когда математически решают задачу движения по параболической траектории, то x0 полагают равной нулю (начало отсчета). Что касается y0, то здесь ситуация немного сложнее: если тело стартует с поверхности земли, то y0 тоже равно нулю; если тело начинает движение с высоты h, то y0 равно этой высоте. Таким образом, формулы движения под углом к горизонту с высоты примут вид:

x = v*cos(θ)*t.

y = v*sin(θ)*t — g*t2/2 + h .

Пример решения задачи

Решим интересную задачу на движение тела под углом к горизонту. Условие ее следующее: лучник, находясь на башне высотой 15 метров, запускает стрелу со скоростью 20 м/с под углом 0o к поверхности земли. Следует определить, на какое расстояние от башни улетит стрела.

Характеристика движения под углом к горизонту: формулы, решение задачи с лучником - новости образования и науки на News4Smart.ru

Искомое расстояние будет равно изменению координаты x, то есть:

x = v*cos(θ)*t = v*t.

Косинус нулевого угла равен единице, поэтому он был опущен. Итак, чтобы получить ответ, необходимо найти время полета стрелы t. Для этого обратимся ко второму уравнению (вдоль оси y). Согласно условию задачи, оно имеет вид:

y = v*sin(θ)*t — g*t2/2+ h = h — g*t2/2, поскольку sin(0) = 0.

Когда стрела упадет на землю, ее координата y станет равной 0, поэтому получаем уравнение:

h — g*t2/2 = 0.

Это равенство называется чистым уравнением второго порядка. Оно решается с помощью переноса свободного члена в другую часть равенства, используя при этом квадратный корень, то есть:

t = √(2*h/g).

Остается подставить эту формулу в уравнение для x и получить желаемый ответ:

x = v*√(2*h/g) = 20*√(2*15/9,81) = 34,97 ≈ 35 метров.

Таким образом, стрела улетит всего на 35 метров. Дальность ее полета лучник может увеличить, если направит стрелу под углом θ к горизонту, не равным нулю.

Характеристика движения под углом к горизонту: формулы, решение задачи с лучником — все интересные факты и достижения науки и образования на News4Smart.ru

Поделитесь ссылкой и ваши друзья узнают, что вы знаете ответы на все вопросы. Спасибо ツ

Related Articles

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Close