Образование

Момент инерции диска. Явление инерции

Многие люди замечали: когда они едут в автобусе, и он увеличивает свою скорость, их тела прижимаются к креслу. И наоборот, при остановке транспортного средства пассажиров будто выбрасывает из посадочных мест. Все это происходит из-за инерции. Рассмотрим это явление, а также объясним, что такое момент инерции диска.

Что представляет собой инерция?

Момент инерции диска. Явление инерции - новости образования и науки на News4Smart.ru

Под инерцией в физике понимают способность всех тел, обладающий массой, сохранять покоящееся состояние либо двигаться с одинаковой скоростью в одном и том же направлении. Если необходимо изменить механическое состояние тела, то приходится прикладывать некоторую внешнюю силу к нему.

В данном определении следует обратить внимание на два момента:

  • Во-первых, это вопрос состояния покоя. В общем случае такого состояния не существует в природе. Все в ней находится в постоянном движении. Тем не менее, когда мы едем в автобусе, то нам кажется, что водитель не двигается со своего места. В таком случае идет речь об относительности движения, то есть относительно пассажиров водитель находится в покое. Отличие между состояниями покоя и равномерного движения заключается лишь в системе отсчета. В примере выше пассажир в состоянии покоя относительно автобуса, в котором едет, но движется относительно остановки, которую проезжает.
  • Во-вторых, инерция тела пропорциональна его массе. Наблюдаемые нами объекты в жизни все имеют ту или иную массу, поэтому все они характеризуются некоторой инертностью.
Момент инерции диска. Явление инерции - новости образования и науки на News4Smart.ru

Таким образом, инерция характеризует степень трудности изменения состояния движения (покоя) тела.

Инерция. Галилей и Ньютон

Момент инерции диска. Явление инерции - новости образования и науки на News4Smart.ru

Когда изучают вопрос инерции в физике, то как правило, связывают ее с первым ньютоновским законом. Этот закон гласит:

Любое тело, на которое не действуют внешние силы, сохраняет свое состояние покоя либо равномерного и прямолинейного движения.

Считается, что этот закон сформулировал Исаак Ньютон, и произошло это в середине XVII века. Отмеченный закон справедлив всегда и во всех процессах, описываемых классической механикой. Но когда ему приписывают фамилию английского ученого, следует сделать некоторую оговорку…

В 1632 году, то есть за несколько десятков лет до постулирования закона инерции Ньютоном, итальянский ученый Галилео Галилей в одной из своих работ, в которой он сравнивал системы мира Птолемея и Коперника, по сути сформулировал 1-й закон «Ньютона»!

Галилей говорит, что если тело движется по гладкой горизонтальной поверхности, и силами трения и сопротивления воздуха можно пренебречь, то это движение будет сохраняться вечно.

Вращательное движение

Момент инерции диска. Явление инерции - новости образования и науки на News4Smart.ru

Приведенные выше примеры рассматривают явление инерции с точки зрения прямолинейного перемещения тела в пространстве. Однако существует еще один тип движения, который распространен в природе и Вселенной — это вращение вокруг точки или оси.

Масса тела характеризует его инерционные свойства поступательного движения. Для описания же аналогичного свойства, которое проявляет себя при вращении, вводят понятие момента инерции. Но перед тем как рассматривать эту характеристику, следует познакомиться с самим вращением.

Круговое перемещение тела вокруг оси или точки описывается двумя важными формулами. Ниже они приводятся:

1) L = I*ω;

2) dL/dt = I*α = M.

В первой формуле L — это момент импульса, I — момент инерции, ω — угловая скорость. Во втором выражении α — это ускорение угловое, которое равно производной по времени от угловой скорости ω, M — момент силы системы. Он рассчитывается как произведение результирующей внешней силы на плечо, к которому она приложена.

Первая формула описывает вращательное движение, вторая — его изменение во времени. Как видно, в обеих этих формулах присутствует момент инерции I.

Момент инерции

Сначала приведем его математическую формулировку, а затем объясним физический смысл.

Итак, момент инерции I рассчитывается следующим образом:

I = ∑i(mi*ri2).

Если перевести это выражение с математического на русский язык, то оно означает следующее: все тело, которое имеет некоторую ось вращения O, разбивается на мелкие «объемчики» массой mi, находящиеся на расстоянии ri от оси O. Момент инерции рассчитывается путем возведения в квадрат этого расстояния, его умножения на соответствующую массу mi и сложения всех полученных слагаемых.

Если разбить все тело на бесконечно малые «объемчики», тогда сумма выше будет стремиться к следующему интегралу по объему тела:

I = ∫V(ρ *r2dV), где ρ — плотность вещества тела.

Из приведенного математического определения следует, что момент инерции I зависит от трех важных параметров:

  • от значения массы тела;
  • от распределения массы в теле;
  • от положения оси вращения.

Физический смысл момента инерции заключается в том, что он характеризует, насколько «тяжело» привести в движение вращения данную систему или изменить ее скорость вращения.

Момент инерции диска однородного

Момент инерции диска. Явление инерции - новости образования и науки на News4Smart.ru

Полученные в предыдущем пункте знания применимы для расчета момента инерции однородного цилиндра, который в случае h<r принято называть диском (h — высота цилиндра).

Для решения поставленной задачи достаточно рассчитать интеграл по объему этого тела. Выпишем исходную формулу:

I = ∫V(ρ *r2dV).

Если ось вращения проходит перпендикулярно плоскости диска через его центр, тогда можно представить этот диск в виде нарезанных мелких колечек, толщина каждого из них является очень малой величиной dr. В этом случае объем такого колечка можно рассчитать так:

dV = 2*pi*r*h*dr.

Это равенство позволяет интеграл по объему заменить на интегрирование по радиусу диска. Имеем:

I = ∫r(ρ *r2*2*pi*r*h*dr) = 2*pi*h*ρ*∫r(r3*dr).

Вычисляя первообразную подынтегрального выражения, а также учитывая, что интегрирование проводится по радиусу, который изменяется от 0 до r, получаем:

I = 2*pi*h*ρ*r4/4 = pi*h*ρ*r4/2.

Поскольку масса рассматриваемого диска (цилиндра) равна:

m = ρ*V и V = pi*r2*h,

то получаем конечное равенство:

I = m*r2/2.

Эта формула момента инерции диска справедлива для абсолютно любого цилиндрического однородного тела произвольной толщины (высоты), ось вращения которого проходит через его центр.

Разные виды цилиндров и положения осей вращения

Аналогичное интегрирование можно провести для разных тел цилиндрической формы и совершенно любого положения осей их вращения и получить момент инерции для каждого случая. Ниже приводится список часто встречающихся ситуаций:

  • кольцо (ось вращения — центр масс): I = m*r2;

  • цилиндр, который описывается двумя радиусами (внешним и внутренним): I = 1/2*m(r12+r22);
  • однородный цилиндр (диск) высотой h, ось вращения которого проходит через центр масс параллельно плоскостям его основания: I = 1/4*m*r12+1/12*m*h 2.

Из всех этих формул следует, что при одинаковой массе m наибольшим моментом инерции I обладает кольцо.

Где используют инерционные свойства вращающегося диска: маховик

Момент инерции диска. Явление инерции - новости образования и науки на News4Smart.ru

Наиболее ярким примером применения момента инерции диска является маховик в автомобиле, который жестко соединен с коленвалом. Благодаря наличию такого массивного атрибута обеспечивается плавность движения автомобиля, то есть маховик сглаживает любые моменты сил импульсивного характера, которые действуют на коленвал. Более того, этот тяжелый металлический диск способен запасать огромную энергию, обеспечивая тем самым инерционное движение транспортного средства даже при заглушенном двигателе.

В настоящее время инженеры некоторых автомобильных компаний работают над проектом использования маховика в качестве накопителя энергии торможения транспортного средства с целью ее последующего использования при ускорении авто.

Другие понятия об инерции

Хотелось бы завершить статью несколькими словами о других «инерциях», отличных от рассмотренного явления.

В той же физике существует понятие о температурной инерции, которая характеризует, насколько «трудно» нагреть или охладить данное тело. Температурная инерция прямо пропорциональна теплоемкости.

В более широком философском смысле инерция описывает сложность изменения какого-либо состояния. Так, инертным людям сложно начинать делать что-то новое из-за лени, привычки к рутинному образу жизни и удобству. Кажется, лучше оставить вещи такими, какие они есть, поскольку так жить гораздо проще…

Момент инерции диска. Явление инерции — все интересные факты и достижения науки и образования на News4Smart.ru

Поделитесь ссылкой и ваши друзья узнают, что вы знаете ответы на все вопросы. Спасибо ツ

Related Articles

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Close