Образование

Уравнение моментов: моменты силы, импульса и инерции

Если линейное перемещение тел описывают в классической механике с помощью законов Ньютона, то характеристики движения механических систем по круговым траекториям вычисляют с помощью специального выражения, которое называется уравнением моментов. О каких моментах идет речь и в чем заключается смысл этого уравнения? Эти и другие вопросы раскрываются в статье.

Момент силы

Всем хорошо известна ньютоновская сила, которая, действуя на тело, приводит к сообщению ему ускорения. Когда же такая сила прилагается к объекту, который закреплен на некоторой оси вращения, то эту характеристику принято называть моментом силы. Уравнение момента силы может быть записано в следующем виде:

M¯ = L¯*F¯

Рисунок, поясняющий это выражение, приведен ниже.

Уравнение моментов: моменты силы, импульса и инерции - новости образования и науки на News4Smart.ru

Здесь видно, что сила F¯ направлена к вектору L¯ под углом Φ. Сам же вектор L¯ полагается направленным от оси вращения (указана стрелкой) к точке приложения F¯.

Приведенная выше формула представляет собой произведение двух векторов, поэтому величина M¯ также является направленной. Куда будет повернут момент силы M¯? Это можно определить по правилу правой руки (четыре пальца направлены вдоль траектории от конца вектора L¯ к концу F¯, а отставленный палец большой показывает направление M¯).

На рисунке выше выражение для момента силы в скалярном виде примет форму:

M = L*F*sin(Φ)

Если внимательно всмотреться в рисунок, то можно увидеть, что L*sin(Φ) = d, тогда имеем формулу:

M = d*F

Величина d является важной характеристикой при вычислении момента силы, поскольку она отражает эффективность приложенной F к системе. Эту величину принято называть рычагом силы.

Физический смысл M заключается в способности силы совершить вращение системы. Эту способность может ощутить на себе каждый, если будет открывать дверь за ручку, толкая ее около петель, или же попробует открутить гайку коротким и длинным ключом.

Равновесие системы

Понятие о моменте силы оказывается очень полезным, когда рассматривают равновесие системы, на которую действуют несколько сил, и которая имеет ось или точку вращения. В таких случаях применяют формулу:

iMi¯=0

То есть система будет находиться в равновесии, если сумма всех моментов сил, приложенных к ней, нулевая. Заметим, что в этой формуле присутствует знак вектора над моментом, то есть при решении следует не забывать учитывать знак этой величины. Общепринятым правилом считается, что действующая сила, которая вращает систему против часовой стрелки, создает положительный Mi¯.

Уравнение моментов: моменты силы, импульса и инерции - новости образования и науки на News4Smart.ru

Ярким примером задач рассматриваемого типа являются проблемы с равновесием рычагов Архимеда.

Момент импульса

Это еще одна важная характеристика движения по окружности. В физике ее описывают произведением количества движения на рычаг. Уравнение момента импульса имеет такой вид:

T¯ = r¯*p¯

Здесь p¯ — вектор импульса, r¯ — вектор, соединяющий вращающуюся материальную точку с осью.

Поясняющий это выражение рисунок приведен ниже.

Уравнение моментов: моменты силы, импульса и инерции - новости образования и науки на News4Smart.ru

Здесь ω — угловая скорость, которая дальше появится в уравнении моментов. Заметим, что направление вектора T¯ находится по тому же правилу, что и M¯. На рисунке выше T¯ по направлению будет совпадать с вектором угловой скорости ω¯.

Физический смысл величины T¯ является таким же, как и характеристики p¯ в случае линейного движения, то есть момент импульса описывает количество вращательного движения (запасенную кинетическую энергию).

Момент инерции

Третья важная характеристика, без которой невозможно составить уравнение движения вращающегося объекта, — это момент инерции. Появляется он в физике в результате математических преобразований формулы для момента импульса материальной точки. Покажем, как это делается.

Представим величину T¯ в следующем виде:

T¯ = r¯*m*v¯, где p¯ = m*v¯

Пользуясь связью между угловой и линейной скоростями, можно переписать это выражение следующим образом:

T¯ = r¯*m*r¯*ω¯, где v¯ = r¯*ω¯

Последнее выражение запишем в виде:

T¯ = r2*m*ω¯

Величина r2*m — это момент инерции I для точки массой m, которая совершает круговое движение вокруг оси на расстоянии от нее r. Этот частный случай позволяет ввести общее уравнение момента инерции для тела произвольной формы:

I = ∫m (r2*dm)

I — это аддитивная величина, смысл которой заключается в инерционности вращающейся системы. Чем больше I, тем труднее раскрутить тело, и необходимо приложить значительные усилия, чтобы его остановить.

Уравнение моментов: моменты силы, импульса и инерции - новости образования и науки на News4Smart.ru

Уравнение моментов

Мы рассмотрели три величины, название которых начинается со слова «момент». Это сделано было намеренно, поскольку все они связаны в одно выражение, получившее название уравнения 3 моментов. Выведем его.

Рассмотрим выражение для момента импульса T¯:

T¯ = I*ω¯

Найдем, как изменяется величина T¯ во времени, имеем:

dT¯/dt = I*dω¯/dt

Учитывая, что производная угловой скорости равна таковой для скорости линейной, деленной на r, а также раскрывая величину I, приходим к выражению:

dT¯/dt = m*r2*1/r*dv¯/dt = r*m*a¯, где a¯ = dv¯/dt — линейное ускорение.

Заметим, что произведение массы на ускорение — это не что иное, как действующая внешняя сила F¯. В итоге получаем:

dT¯/dt = r*F¯ = M¯

Мы пришли к интересному выводу: изменение момента импульса равно моменту действующей внешней силы. Это выражение принято записывать в несколько иной форме:

M¯ = I*α¯, где α¯ = dω¯/dt — угловое ускорение.

Это равенство называется уравнением моментов. Оно позволяет рассчитать любую характеристику вращающегося тела, зная параметры системы и величину внешнего воздействия на нее.

Закон сохранения T¯

Полученный в предыдущем пункте вывод свидетельствует о том, что если внешний момент сил будет равен нулю, то момент импульса меняться не будет. В таком случае запишем выражение:

T¯ = const. или I11¯ = I22¯

Эта формула носит название закона сохранения величины T¯. То есть любые изменения внутри системы суммарный момент импульса не меняют.

Уравнение моментов: моменты силы, импульса и инерции - новости образования и науки на News4Smart.ru

Этот факт используется фигуристами и балеринами во время их выступлений. Также его применяют, если необходимо выполнить поворот вокруг своей оси искусственного спутника, движущегося в космосе.

Уравнение моментов: моменты силы, импульса и инерции — все интересные факты и достижения науки и образования на News4Smart.ru

Поделитесь ссылкой и ваши друзья узнают, что вы знаете ответы на все вопросы. Спасибо ツ

Related Articles

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Close